\section{Tensorprodukt} \begin{Def} Seien $M, N, P$ $R$-Moduln. \begin{enumerate} \item Eine Abbildung $\Phi: M \times N \to P$ heißt \emp{$R$-bilinear}\index{R-bilinear}, wenn für jedes $x_0 \in M$ und jedes $y_0 \in N$ die Abbildungen \[\Phi_{x_0}: N \to P, y \mapsto \Phi(x_0,y)\] \[\Phi_{y_0}: M \to P, x \mapsto \Phi(x,y_0)\] $R$-linear sind. \item Ein \emp{Tensorprodukt}\index{Tensorprodukt} von $M$ und $N$ (über $R$) ist ein $R$-Modul $T$ zusammen mit einer bilinearen Abbildung $\tau: M \times N \to T$, sodass\\ (UAE) Für jede bilineare Abbildung $\Phi: M \times N \to P$ gibt es genau eine lineare Abbildung $\varphi: T \to P$ mit $\Phi = \varphi \circ \tau$ \[ \begin{xy} \xymatrix{ M \times N \ar[rr]^{\tau} \ar[rd]_{\Phi} & & T \ar@{-->}[dl]^{\exists!\varphi} \\ & P & } \end{xy} \] ($\tau$ ist die ,,universelle`` bilineare Abbildung) \end{enumerate} \end{Def} \begin{nnBsp} \begin{enumerate} \item[1.)] $M, N$ freie $R$-Moduln mit Basis $\{e_i, i \in I\}$ bzw. $\{f_j, j \in J\}$. Dann ist $M \otimes N$ freier $R$-Modul mit Basis $\{e_i f_j, i \in I, j \in J\}$ ein Tensorprodukt mit $\tau(e_i,f_j) = e_i f_j$. Denn: Sei $\Phi: M \times N \to P$ bilinear. Setze $\varphi(e_i \cdot f_j) \defeqr \Phi(e_i,f_j$), das bestimmt eindeutig $\varphi: M \otimes N \to P$ ($R$-linear) mit $\Phi(e_i,f_j) = \varphi(\tau(e_i,f_j))$ für alle $i,j$. Sind $I, J$ endlich, so ist rg$(M \otimes N) = \mbox{rg}(M) \cdot \mbox{rg}(N)$, dagegen ist rg$(M \times N) = \mbox{rg}(M) + \mbox{rg}(N)$. $\tau$ ist also höchstens in Trivialfällen surjektiv. $\tau$ ist nicht injektiv: $\tau(x,0) = \tau(x,0 \cdot y) = 0 \cdot \tau(x,y) = 0$ (da linear im 2. Argument), genauso $\tau(0,y) = 0$. Bild$(\tau)$ ist kein Untermodul, aber $\langle \Bild(\tau) \rangle = M \otimes N$. \item[2.)] $0$ ist ein Tensorprodukt der $\mathbb{Z}$-Moduln $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ und $\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$. Denn: jede bilineare Abbildung $\Phi: \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \to P$ ist die Nullabbildung. $\Phi(\bar{1},\bar{1}) = \Phi(3 \cdot \bar{1},\bar{1}) = 3 \cdot \Phi(\bar{1},\bar{1}) = \Phi(\bar{1},3 \cdot \bar{1}) = \Phi(\bar{1},\bar{0})= 0$, genauso $\Phi(\bar{1},-\bar{1}) = 0$. \end{enumerate} \end{nnBsp} \begin{Satz}[Tensorprodukt] Zu je zwei $R$-Moduln $M,N$ gibt es ein Tensorprodukt. Dieses ist eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen Isomorphismus. \end{Satz} \begin{anBew} Sei F der freie $R$-Modul mit Basis $M \times N$. Sei $Q$ Untermodul, der erzeugt wird von den \[(x + x',y) - (x,y) - (x',y), (\alpha x,y) - \alpha (x,y)\] \[(x,y + y') - (x,y) - (x,y'), (x,\alpha y) - \alpha (x,y)\] für alle $x,x' \in M,\; y,y' \in N,\;\alpha \in R$ Setze $T \defeqr F/Q$, $\tau: M \times N \to T, (x,y) \mapsto [(x,y)] \mbox{ mod } Q$. $\tau$ ist bilinear nach Konstruktion. Ist $\Phi: M \times N \to P$ bilinear, so setze $\tilde{\varphi}((x,y)) \defeqr \Phi(x,y)$, $\tilde{\varphi}: F \to P$ ist linear. $Q \subseteq \Kern(\tilde{\varphi})$, weil $\Phi$ bilinear $\overset{\text{Hom.-Satz}}{\Rightarrow} \tilde{\varphi}$ induziert $\varphi: T \to P$ mit $\Phi = \varphi \circ \tau$. Noch zu zeigen: Eindeutigkeit\\ Seien $(T, \tau)$, $(T', \tau')$ Tensorprodukte von $M$ und $N$. Dann gibt es eine $R$-lineare Abbildung $\varphi: T \rightarrow T'$ mit $\tau'= \varphi \circ \tau$ \[\begin{xy} \xymatrix{ & T \ar@/_/[dd]_{\varphi} \\ M \times N \ar[ur]^{\tau} \ar[dr]_{\tau'} & \\ & T' \ar@/_/[uu]_{\psi} } \end{xy}\] und $\psi: T' \rightarrow T$ mit $\tau = \psi \circ\tau'$ Behauptung: $\psi \circ \varphi = id_T$ und $\varphi \circ \psi = id_{T'}$. Dazu: \[\begin{xy} \xymatrix{ & T \ar@/_/[dd]_{id} \ar@/^/[dd]^{\psi \circ \varphi} \\ M \times N \ar[ur]^{\tau} \ar[dr]_{\tau} & \\ & T } \end{xy}\] ist kommutativ, d. h.\\ $(\psi \circ \varphi ) \circ \tau = \psi \circ ( \varphi \circ \tau) = \psi \circ \tau' = \tau$ mit $id: T \rightarrow T$ ist das Diagramm auch kommutativ. Wegen der Eindeutigkeit in der Definition des Tensorprodukts muss gelten: $\psi \circ \varphi = id_T$ ($\varphi \circ \psi = id_{T'}$ analog) \end{anBew} \begin{Bem} Für alle $R$-Moduln $M, N, M_1, M_2, M_3$ gilt: \begin{enumerate} \item $M \otimes_R R \cong M$ \item $M \otimes_R N \cong N \otimes_R M$ \item $(M_1 \otimes_R M_2) \otimes_R M_3 \cong M_1 \otimes_R (M_2 \otimes_R M_3)$ \end{enumerate} \end{Bem} \begin{Bew} \begin{enumerate} \item[a)] Zeige: $M$ ist Tensorprodukt der $R$-Moduln $M$ und $R$.\\ $\tau: M \times R \rightarrow M$, $(x,a) \rightarrow a \cdot x$ ist bilinear (wegen Moduleigenschaften). Sei $\Phi: M \times R \rightarrow P$ bilinear\\ Gesucht: $\varphi: M \rightarrow P$ linear mit $\Phi = \varphi \circ \tau$, d. h. $\Phi(x,a) = \varphi(a \cdot x)$\\ Setze $\varphi(x) := \Phi(x,1)$. $\varphi$ ist $R$-linear, da $\Phi( \cdot, 1)$ linear ist, $\Phi(x,a) = a\Phi(x,1) = a\varphi(x) = \varphi(a \cdot x ) = \varphi(\tau(x,a))$\\ $\varphi$ ist eindeutig: es muss gelten: $\varphi(\tau(x,1)) = \Phi(x,1) =: \varphi(x)$, damit ist $\varphi$ eindeutig bestimmt (wegen $\varphi \circ \tau = \Phi$). \item[b)] $M \times N \cong N \times M$ \item[c)] Finde lineare Abbildung: $(M_1 \otimes_R M_2) \otimes_R M_3 \rightarrow M_1 \otimes_R (M_2 \otimes_R M_3)$ \begin{enumerate} \item[ 1. ] Für festes $z \in M_3$ sei $\Phi_z: M_1 \times M_2 \rightarrow M_1 \otimes_R (M_2 \otimes_R M_3)$,\\ $(x,y) \rightarrow x \otimes (y \otimes z) := \tau ( y,z )$\\ $\Phi_z$ bilinear: klar\\ $\Phi_z$ induziert eine lineare Abbildung: $\varphi_z: M_1 \otimes_R M_2 \rightarrow M_1 \otimes_R (M_2 \otimes_R M_3)$\\ Weiter ist $\Psi: ( M_1 \otimes_R M_2 ) \times M_3 \rightarrow M_1 \otimes_R (M_2 \otimes_R M_3)$, $(w,z) \rightarrow \varphi_z (w)$\\ bilinear: linear in $w$, weil $\varphi_z$ linear; linear in $z$ weil $\Phi_z$ bilinear.\\ Induziert also lineare Abbildung $\psi: (M_1 \otimes_R M_2) \otimes_R M_3 \rightarrow M_1 \otimes_R (M_2 \otimes_R M_3)$ \item[2.] Umkehrabbildung genauso! \end{enumerate} \end{enumerate} \end{Bew} \begin{Prop} Sei $M$ ein $R$-Modul, $I \subseteq R$ ein Ideal. Dann ist $I \cdot M = \{ a \cdot x \in M: x \in M, a \in I \}$ Untermodul von $M$ und es gilt: \\ $$\FakRaum{M}{I \cdot M} \cong M \otimes_R \FakRaum{R}{I}$$ \end{Prop} \begin{Bew} Sei $\tilde{\varphi}: M \rightarrow M \otimes_R R/I$, $ x \rightarrow x \otimes \overline{1}$\\ $\tilde{\varphi}$ ist $R$-linear.\\ $I \cdot M \subseteq \Kern(\tilde{\varphi}): \forall a \in I, x \in M$ ist $\tilde{\varphi}(ax) = ax \otimes \overline 1 = x \otimes \underbrace{ a \cdot \overline{1} }_{\overline a} = 0$\\ $\tilde{\varphi}$ induziert also lineare Abbildung\\ $\varphi: M/({I \cdot M}) \rightarrow M \otimes_R R/I$ Umgekehrt: $\Psi: M \times R/I \rightarrow M /({I \cdot M})$, $(x, \overline a) \rightarrow \overline{ax}$ $\Psi$ ist wohldefiniert: ist $\overline b = \overline a$, so ist $\overline{b \cdot x} - \overline{a \cdot x} = \overline{ \underbrace {( \underbrace{b-a}_{\in I}) \cdot x}_{ \in I \cdot M}} =0$ $\Psi$ ist bilinear, induziert also $\psi: M \otimes_R R/I \rightarrow M/({I \cdot M})$ (linear). Es ist $(\psi \circ \varphi)(\overline x )= \psi(x \otimes \overline 1 ) = \overline{1x} = \overline x$ und $(\varphi \circ \psi)(x \otimes \overline a ) = \varphi(\overline{a \cdot x }) = ax \otimes \overline 1 = x \otimes a\cdot \overline 1 = x \otimes \overline a$ \end{Bew}