\chapter{Multilineare Algebra}
\section{Moduln}
Sei $R$ ein (kommutativer) Ring (mit Eins) (in der ganzen Vorlesung).
\begin{Def}
\label{1.1}
\begin{enumerate}
\item Eine abelsche Gruppe $(M,+)$ zusammen mit einer Abbildung
$\cdot : R \times M \to M$ heißt \emp{$R$-Modul}\index{R-Modul} (genauer:
$R$-Linksmodul), wenn gilt:
\begin{enumerate}
\item[(i)] $a \cdot (x+y) = a \cdot x + a \cdot y$
\item[(ii)] $(a+b) \cdot x = a \cdot x + b \cdot x$
\item[(iii)] $(a \cdot b) \cdot x = a \cdot (b \cdot x)$
\item[(iv)] $1 \cdot x = x$
\end{enumerate}
für alle $a,b \in R,\;x,y \in M$.
\item Eine Abbildung $\varphi: M \to M'$ zwischen $R$-Modulen $M$, $M'$
heißt \emp{$R$-Modul-Homo\-morphismus}\index{R-Modul!-Homomorphismus} (kurz
\emp{$R$-linear}\index{R-linear}), wenn für alle $x,y \in M, \; a,b \in R$
gilt:\\
$\varphi (a \cdot x + b \cdot y) = a \cdot \varphi (x) + b \cdot
\varphi (y)$
\end{enumerate}
\end{Def}
\begin{nnBsp}
\begin{enumerate}
\item[(1)] $R = K$ Körper. Dann ist $R$-Modul = $K$-Vektorraum und
$R$-linear = linear
\item[(2)] $R$ ist $R$-Modul. Jedes Ideal $I \subseteq R$ ist $R$-Modul
\item[(3)] Jede abelsche Gruppe ist ein $\mathbb{Z}$-Modul.\\
(denn: $n \cdot x = \underbrace{x + x + \cdots + x}_{n\text{-mal}}$
definiert die Abbildung $\cdot: \mathbb{Z} \times M \to M$
wie in \ref{1.1} gefordert)
\end{enumerate}
\end{nnBsp}
\begin{BemDef}
\begin{enumerate}
\item Sind $M,M'$ $R$-Moduln, so ist Hom$_R(M,M') = \{\varphi: M \to M' :
\varphi \text{ ist } R\text{-linear}\}$ ein $R$-Modul durch
$(\varphi_1 + \varphi_2)(x) = \varphi_1(x) + \varphi_2(x)$ und
$(a \cdot \varphi_1)(x) = a \cdot \varphi_1(x)$.
\item $M^* = \Hom_R(M,R)$ heißt dualer Modul.\index{R-Modul!dualer}
\end{enumerate}
\end{BemDef}
\newcommand{\BIGOP}[1]{\mathop{\mathchoice%
{\raise-0.22em\hbox{\huge $#1$}}%
{\raise-0.05em\hbox{\Large $#1$}}{\hbox{\large $#1$}}{#1}}}
\newcommand{\bigtimes}{\BIGOP{\times}}
\begin{nnBsp}
$R = \mathbb{Z}$\\
Hom$_R(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}, \mathbb{Z}) = \{ 0 \}$, denn $0 = \varphi(0) =
\varphi(1 + 1) = \varphi(1)+\varphi(1) \Rightarrow \varphi(1) = 0$
\end{nnBsp}
\begin{Bem}[Ähnlichkeiten von Moduln mit Vektorräumen]
Die $R$-Moduln bilden eine \emp{abelsche Kategorie}\index{Kategorie!abelsche} \emp{$R$-Mod}\index{Kategorie!R-Mod}.
\begin{enumerate}
\item Eine Untergruppe $N$ eines $R$-Moduls $M$ heißt $R$-Untermodul von
$M$, falls $R \cdot N \subseteq N$.
\item Kern und Bild $R$-linearer Abbildungen sind $R$-Moduln.
\item Zu jedem Untermodul $N \subseteq M$ gibt es einen Faktormodul $M/N$.
\item Homomorphiesatz:\\
Für einen surjektiven Homomorphismus $\varphi: M \rightarrow N$ gilt:
$M/\Kern(\varphi) \cong N$.
\item \emph{Direktes Produkt}: Sei ${\{M_{i}\}}_{i \in I}$ eine beliebige
Menge von Moduln. Dann ist ihr direktes Produkt
$\Pi_i M_i = \bigtimes_i M_i$ gegeben durch die Menge aller Tupel ${(m_i)}_{i
\in I}$ mit $m_i \in M_i$ und die $R$-Aktion ${r(m_i)}_{i \in I} = {(rm_i)}_{i \in I}$.
\emph{Direkte Summe}: Das gleiche wie beim direkten Produkt, jedoch dürfen in den
Tupeln nur endlich viele $m_i \neq 0$ sein.
\end{enumerate}
\end{Bem}
\begin{Bew}
\begin{enumerate}
\stepcounter{enumi}
\item $\Kern(\varphi)$: Sei $\varphi: M \rightarrow N$ lineare Abbildung. $m \in \Kern(\varphi)$, $r \in R$:\\
$\varphi(rm) = r\varphi(m) = 0 \Rightarrow R \cdot \Kern(\varphi) \subseteq \Kern(\varphi)$; Untergruppe klar
$\Bild(\varphi)$: $n \in \Bild(\varphi) $, d. h. $\exists\, m: n = \varphi
(m), m \in M \Rightarrow r \in R:
rn = r \varphi(m) = \varphi(rm) \in \Bild(\varphi) \Rightarrow R
\cdot \Bild(\varphi) \subseteq \Bild(\varphi)$
\item $M$ abelsch $\Rightarrow$ jedes $N$ Normalteiler $\Rightarrow M/N$ ist
abelsche Gruppe.
Wir definieren $R$-Aktion auf $M/N$ durch $r(m + N) = rm + N$. Das ist
wohldefiniert, denn\\
$r((m+n)+N)=r(m+n) + N= rm + \underbrace{rn}_{\in N} + N = rm + N$
$r((m+N) + (m' + N ) ) = r((m+m')+N) = r(m+m') + N = rm + N + rm' + N =
r(m+N) + r(m'+N)$\\
Die restlichen drei Eigenschaften gehen ähnlich.
\item
$$\begin{xy}
\xymatrix{
M \ar[rr]^{\varphi} \ar[rd] & & N \\
& M/\Kern(\varphi) \ar@{-->}[ur]_{\exists!\, \tilde{\varphi}} & }
\end{xy}$$
Wohldefiniertheit von $\tilde{\varphi}$:\\
Sei $k \in \Kern(\varphi): \varphi(m+k) = \varphi(m)$
surjektiv: $\forall n \in N: n = \varphi(m) = \tilde{\varphi}(m + \Kern(\varphi))$
injektiv: $m, m' \in M$ mit $\varphi(m) = \varphi(m') = n \in N \Leftrightarrow
\varphi(m-m') = 0 \Rightarrow m + \Kern(\varphi)(m) = \Kern(\varphi)(m')$
$\tilde{\varphi}$ ist $R$-linear: Klar, wegen $\varphi$ $R$-linear.
\end{enumerate}
\end{Bew}
\begin{Bem}
\begin{enumerate}
\item Zu jeder Teilmenge $X \subseteq M$ eines $R$-Moduls $M$ gibt es den von
$X$ erzeugten Untermodul $$\langle X \rangle = \displaystyle
\bigcap_{\substack{M' \subseteq M\; \text{ Untermodul} \\ X \subseteq M'}} M' = \left\{
\sum_{i=1}^n a_i x_i: n \in \mathbb{N}, a_i \in R, x_i \in X \right\}$$
\item $B \subset M$ heißt \emp{linear unabhängig}\index{linear unabhängig},
wenn aus $\displaystyle \sum_{i=1}^n \alpha_i b_i = 0$ mit $n \in
\mathbb{N}, b_i \in B, \alpha_i \in R$ folgt $\alpha_i = 0$ für alle
$i$.
\item Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem heißt
\emp{Basis}\index{Basis}.
\item Nicht jedes $R$-Modul besitzt eine Basis.
Beispiel: $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ als $\mathbb{Z}$-Modul: $\{\bar{1}\}$
ist nicht linear unabhängig, da $\underbrace{42}_{\not= 0 \text{ in } \mathbb{Z}} \cdot 1 = 0$
\item Ein $R$-Modul heißt \emp{frei}\index{R-Modul!freier}, wenn er eine
Basis besitzt.
\item Ein freier $R$-Modul $M$ hat die Universelle Abbildungseigenschaft eines Vektorraums. Ist $B$ eine
Basis von $M$, $f: B \to M'$ eine Abbildung in einen $R$-Modul M', so
gibt es genau eine $R$-lineare Abbildung $\varphi: M \to M'$ mit
$\varphi|_B = f$.
\item Sei $M$ freier Modul. Dann ist $M^*$ wieder frei und hat dieselbe
Dimension wie $M$.
\end{enumerate}
\end{Bem}
\begin{Bew}
\begin{enumerate}
\item[(f)] Sei $\{y_i\}_{i \in I}$ Familie von Elementen von $M'$.\\
Sei $x \in M$. Durch $x=\sum_{i}a_ix_i$ ist $\{a_i\}_{i \in I}$
eindeutig bestimmt.\\
Wir setzen: $\varphi(x):=\sum_i a_iy_i=\sum_ia_i\varphi(x_i)$
\textbf{Beh. 1:} Falls $\{y_i\}_{i\in I}\;(y_i \neq y_j \text{ für } i\neq
j)$ Basis von $M'$ ist, dann ist $\varphi$ ein Isomorphismus.\\
\textbf{Bew. 1:} Wir können den Beweis des Satzes rückwärts anwenden\\
$\Rightarrow$ $\exists\, \psi: M' \rightarrow M \text{ mit } \psi(y_i)=x_i \forall i \in I$\\
$\Rightarrow$ $\varphi \circ \psi = id_N, \psi \circ \varphi = id_M$
\textbf{Beh. 2:} Zwei freie Moduln mit gleicher Basis sind isomorph.\\
\textbf{Bew. 2:} klar
\end{enumerate}
\end{Bew}
\begin{PropDef}
Sei $0 \to M' \overset{\alpha}{\to} M \overset{\beta}{\to} M'' \to 0$ kurze exakte Sequenz von $R$-Moduln (d.h.
$M' \subseteq M$ Untermodul, $M'' = M/M'$). Dann gilt für jeden $R$-Modul $N$:
\begin{enumerate}
\item $0 \to \Hom_R(N,M') \overset{\alpha_*}{\to} \Hom_R(N,M) \overset{\beta_*}{\to}
\Hom_R(N,M'')$ ist exakt.
\item $0 \to \Hom_R(M',N) \overset{\beta^*}{\to} \Hom_R(M,N) \overset{\alpha^*}{\to}
\Hom_R(M'',N)$ ist exakt.
\item Im Allgemeinen sind $\beta_*$ bzw. $\alpha^*$ nicht surjektiv.
\item Ein Modul $N$ heißt \emp{projektiv}\index{R-Modul!projektiver} (bzw.
\emp{injektiv}\index{R-Modul!injektiver}), wenn $\beta_*$ (bzw.
$\alpha^*$) surjektiv ist.
\item Freie Moduln sind projektiv.
\item Jeder $R$-Modul M ist Faktormodul eines projektiven $R$-Moduls.
\item Jeder $R$-Modul M ist Untermodul eines injektiven $R$-Moduls.
\end{enumerate}
\end{PropDef}
\begin{Bew}
\begin{enumerate}
\item $$
\begin{xy}
\xymatrix{
& & N \ar[ld]_\varphi \ar[d]^\psi \ar[dr] & & \\
0 \ar[r] & M' \ar[r]^{\alpha} & M \ar[r]^{\beta} & M'' \ar[r] & 0
}
\end{xy}
$$
$\alpha_*$ ist injektiv: Sei $\varphi \in \Hom_R(N,M')$, ist
$\alpha_*(\varphi) = \alpha \circ \varphi = 0 \overset{\alpha \text{ inj.}}{\Rightarrow} \varphi = 0$.
$\Bild(\alpha_*) \subseteq \Kern(\beta_*)$:
$\beta_*(\alpha_*(\varphi)) = \underset{=0}{\underbrace{\beta \circ \alpha}} \circ \varphi = 0$
$\Kern(\beta_*) \subseteq \Bild(\alpha_*)$:\\
Sei $\beta \circ \psi = 0$ ($\psi \in \Kern(\beta_*)$). Für jedes $x \in N$ ist $\psi(x) \in
\Kern(\beta) = \Bild(\alpha) \Rightarrow$ zu $x \in N \;
\exists\, y \in M' \text{ mit } \psi(x) = \alpha(y)$; $y$ ist
eindeutig, da $\alpha$ injektiv.
Definiere $\varphi': N \to M'$ durch $x \mapsto y$.\\
Zu zeigen: $\varphi'$ ist $R$-linear\\
Seien $x,x' \in N \Rightarrow \varphi'(x+x')=z$ mit $\alpha(z) =
\varphi(x+x') = \varphi(x) + \varphi(x') = \alpha(y) + \alpha(y') =
\alpha(y +y')$ mit $\varphi'(x) = y, \; \varphi'(x') = y'
\overset{\alpha \text{ inj.}}{\Rightarrow} z = y + y'$
Genauso: $\varphi'(a \cdot x) = a \cdot \varphi'(x)$
\item \[
\begin{xy}
\xymatrix{
0 \ar[r] & M' \ar[r] & M \ar[rr]^{\beta} \ar[rd]_{\beta^*(\varphi)} & & M'' \ar[dl]^{\varphi} \ar[r] & 0 \\
& & & N & }
\end{xy}
\]
$\beta^*$ injektiv, denn für $\varphi \in \Hom(M'', N)$ ist
$\beta^*(\varphi)=\varphi\circ \beta$\\
Sei $\beta^*(\varphi)= 0 \Rightarrow \varphi \circ \beta = 0 \overset{\beta
\text{ surj.}}{\Rightarrow}\varphi=0$.
$\Bild(\beta^*) \subseteq \Kern(\alpha^*)$: $(\alpha^* \circ
\beta^*)(\varphi)= \alpha^*(\varphi\circ \beta)=\varphi \circ
\underbrace{\beta \circ \alpha}_{=0}=0$
$\Kern(\alpha^*)\subseteq\Bild(\beta^*)$: Sei $\psi \in \Kern(\alpha^*)$.
Aber $\psi \in \Hom_R(M, N)$ mit $\psi \circ \alpha=0$\\
Weil $\psi$ auf $\Bild(\alpha)$ verschwindet, kommutiert
\[
\begin{xy}
\xymatrix{
& M'' &\\
M \ar[rd]_{\psi} \ar[ur]^{\beta} \ar[rr] & & M/\Bild(\alpha)
\ar[dl]^\sigma \ar[ul]_{\cong}\\
& N & }
\end{xy}
\]
$\Rightarrow \beta^*(\sigma)= \psi \Longrightarrow$ Beh.
\item Im Allgemeinen sind $\beta_*$ und $\alpha^*$ nicht surjektiv\\
z.B.: \begin{enumerate}
\item[1.] $0\rightarrow \mathbb Z \stackrel{\cdot2}{\stackrel{\alpha}\rightarrow}
\mathbb Z \stackrel\beta\rightarrow \mathbb Z / 2\mathbb Z\rightarrow 0$ mit $N:= \mathbb Z / 2\mathbb Z$\\
Es gilt: Hom$(N, \mathbb Z)=\{0\}$\\
$\Hom(N, \mathbb Z/2\mathbb Z)=\{0, id\}$ $\Rightarrow$ $\beta_*$ nicht surjektiv $\Rightarrow$ $N$ nicht projektiv!
\item[2.] $0\rightarrow \mathbb Z \stackrel{\cdot4}{\stackrel{\alpha}\rightarrow}
\mathbb Z \stackrel\beta\rightarrow \mathbb Z / 4\mathbb Z\rightarrow 0$ mit $N:= 2\cdot \mathbb Z / 4\mathbb Z$\\
$\Hom(\mathbb Z, N)= \{0, \psi\}$, wobei $\psi(1)=2$.\\
Dann: $\alpha^*(\psi)=\psi\circ \alpha = 0$ $\Rightarrow$ $\alpha^*$ nicht surjektiv $\Rightarrow$ $N$ nicht injektiv!
\end{enumerate}
\stepcounter{enumi}
\item Sei $N$ frei mit Basis $\{e_i,i \in I\}$.
Sei $\beta: M \to M''$ surjektive $R$-lineare Abbildung und
$\varphi: N \to M''$ $R$-linear. Für jedes $i \in I$ sei $x_i \in M$
mit $\beta(x_i) = \varphi(e_i)$ (so ein $x_i$ gibt es, da $\beta$
surjektiv). Dann gibt es genau eine $R$-lineare Abbildung $\psi: N
\to M$ mit $\psi(e_i) = x_i$. Damit $\beta(\psi(e_i)) = \beta(x_i) =
\varphi(e_i)$ für alle $i \in I \Rightarrow \beta \circ \psi =
\varphi$
\item \label{1.5fBew}
Sei $M$ ein $R$-Modul. Sei $X$ ein Erzeugendensystem von $M$ als
$R$-Modul (notfalls $X = M$). Sei $F$ der freie $R$-Modul mit Basis
$X$, $\varphi: F \to M$ die $R$-lineare Abbildung, die durch $x
\mapsto x$ für alle $x \in X$ bestimmt ist. $\varphi$ ist surjektiv,
da $X \subseteq \Bild(\varphi)$ und $\langle X \rangle = M$.
Nach Homomorphiesatz ist $M \cong F/\Kern(\varphi)$.
\end{enumerate}
\end{Bew}
\begin{Prop}
\label{1.6}
Ein $R$-Modul $N$ ist genau dann projektiv, wenn es einen $R$-Modul $N'$ gibt,
so dass $F \defeqr N \oplus N'$ freier Modul ist.
\end{Prop}
\begin{Bew}
,,$\Rightarrow$``:\\
Sei $F$ freier $R$-Modul und $\beta: F \to N$ surjektiv (wie in \myref{Beweis von
1.5}{1.5fBew}). Dann gibt es $\tilde{\varphi}: N \to F$ mit $\beta \circ
\tilde{\varphi} = id_N$ (weil $N$ projektiv ist).\\
\textbf{Behauptung:}
\begin{enumerate}
\item[1.)] $F = \Kern(\beta) \oplus \Bild(\tilde{\varphi}) \cong N' \oplus N$
\item[2.)] $\tilde{\varphi}$ injektiv
\end{enumerate}
\textbf{Beweis:}
\begin{enumerate}
\item[1.)] $\Kern(\beta) \cap \Bild(\tilde{\varphi}) = (0)$, denn:
$\beta(\tilde{\varphi}(x)) = 0 \Rightarrow x = 0 \Rightarrow
\tilde{\varphi}(x) = 0$.
Sei $x \in F,\; y \defeqr
\tilde{\varphi}(\beta(x)) \in \Bild(\tilde{\varphi})$.
Für $z = x - y$ ist $\beta(z) = \beta(x) -
\underbrace{\beta(\tilde{\varphi}}_{id}(\beta(x)))= 0 \Rightarrow x = \underbrace{z}_{\in
\Kern(\beta)} + \underbrace{y}_{\in \Bild(\tilde{\varphi})}$
\item[2.)] $\tilde{\varphi}(x) = 0 \Rightarrow \underbrace{\beta(\tilde{\varphi}(x))}_{= x} = 0$
\end{enumerate}
,,$\Leftarrow$``:\\
Sei $F = N \oplus N'$ frei, $\beta: M \to M''$ surjektiv, $\varphi: N \to M''$
R-linear.
Gesucht: $\psi: N \to M$ mit $\beta \circ \psi = \varphi$.
Definiere $\tilde{\varphi}: F \to M''$ durch $\tilde{\varphi}(x + y) =
\varphi(x)$ wobei jedes $z \in F$ eindeutig als $z = x + y$ mit $x \in N,\; y
\in N'$ geschrieben werden kann.
$F$ ist frei also projektiv $\Rightarrow \exists\, \tilde{\psi}: F \to M$ mit
$\beta \circ \tilde{\psi} = \tilde{\varphi}$. Sei $\psi \defeqr
\tilde{\psi}|_N$. Dann ist $\beta \circ \psi = \beta \circ \tilde{\psi}|_N =
\tilde{\varphi}|_N = \varphi$
\end{Bew}